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体彩排三今天开奖号码查询:高等数学-第十二章作业

福彩号码查询 www.edasl.tw ·1·第十二章

无穷级数 ?

§ 1

第十二章 无穷级数 常数项级数的概念与性质

练习题 P192 1 .(2) (4),2.(1)(4),3.(1),4.(1) 一、根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性: 1、
1 1?3 ? 1 3?5 ? 1 5?7 ?? ? 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) ??;

2、 ? ( n ? 1 ?
n ?1

?

n) .

二、判断下列级数的敛散性 1、
1 3 ? 1 6 ? 1 9 ?? ? 1 3n ??;

2、

3 2

?

3 2

2 2

?

3 2

3 3

?? ?

3 2

n n

??;

? 第十二章 无穷级数·2·

3、

1 3

?

1 3

?

1
3

?? ?

1
n

?? .

3

3

4、 sin

?
6

? sin

2? 6

? sin

3? 6

? ? ? sin

n? 6

??

三、已知级数 ? u n ,且其前 2n 项部分和 S 2 n ? a , u n ? 0 ,试证:级数 ? u n 收敛,
n ?1 n ?1

?

?

且其和为 S=a.

·3·第十二章

无穷级数 ?

§ 2

常数项级数的审敛法(一)

练习题 P206 1.(1)(2)(5),2.(1)(2),3.(1)(3),4.(1)(2) 一、应用比较审敛法或极限审敛法判断下列级数的敛散性: ? ? ? ? ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? sin n ? ? ; 1、 sin
2 2 2 2

2、

1 2?5

?

1 3?6

?

1 4?7

?? ?

1 ( n ? 1)( n ? 4 )

?? .

二、利用比值法或根值法判断下列级数的敛散性: 1、 ?
?

2 n! n
n

n

;

n ?1

2、 ? n tan
n ?1

?

?
2
n ?1

;

? 第十二章 无穷级数·4·
?

3、 ?

1 [ln ( n ? 1)]
n

.

n ?1

三、判断下列级数的敛散性: 1、

?

?

n ?1 n(n ? 2)

;

n ?1

2、

?2
n ?1

?

n

sin

?
3
n

.

四、已知级数 ? a n 收敛,且 a n ? 0 ,试证级数 ?
2 n ?1

?

?

an n

也收敛.

n ?1

·5·第十二章

无穷级数 ?

§ 2 练习题 P206 一、选择题 5. (2) (3)
?

常数项级数的审敛法(二)

设常数 a ? 0 ,则级数 ? ( ? 1)
n ?1

n

1 n?a

sin

?
n

(A)发散;

(B) 条件收敛;

(C) 绝对收敛;

(D)收敛性与 a 的取值有关.

二、判断下列级数的敛散性,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛? 1、 1 ?
1 2 ? 1 3 ? 1 4 ?? ;

2、 ? ( ? 1 )
n ?1

?

n ?1

n n ? 100

.

? 第十二章 无穷级数·6·

三、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 1、 ? ( ? 1)
n ?1 ? n

1 n
p

;

2、 ? ( ? 1) ln
n n ?1

?

n ?1 n

;

·7·第十二章

无穷级数 ?

练习题

P257

习题课(一) 1.(1)(2)(3),2.(1)(2)(3),4
? ? ? 2

一、设正项级数 ? u n 和 ? v n 都收敛,证明 ? ( u n ? v n ) 也收敛.
n ?1 n ?1 n ?1

二、 讨论级数 ? ( ? 1)
n ?1

?

sin
n ?1

?
n?1
n ?1

?

的绝对收敛性与条件收敛性.

? 第十二章 无穷级数·8·
? n ?1 ?x

三、判断级数 ? ( ? 1 )
n ?1

n

?n

e

dx 的敛散性,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛? x

四、求 lim

? n? ? n

1

n

1 3
k

(1 ?

1 k

)

k

2

.

k ?1

·9· 第十二章

无穷级数 ?

§ 3 练习题 P215 1. (2) (3) (5),2.(1) 一、求下列幂级数的收敛区间: 1、 x ? 2 x ? 3 x ? ? ? n x ? ?
2 3 n

幂级数

2、 ?

?

( x ? 5) n

n

;

n ?1

3.

? ( ? 1)
n ?1

?

n

x

2 n ?1

2n ? 1

? 第十二章 无穷级数·10·

二、利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数 1、 ?
?

x

4 n ?1

n ?1

4n ? 1

;

2、 x ?

x

3

?

x

5

?? ?

x

2 n ?1

3

5

2n ? 1

?? .

·11· 第十二章
?

无穷级数 ?

三、求幂级数 ?

2n ? 1 2
n

x

2n?2

的收敛域及和函数.

n ?1

四、求数项级数 ?

?

1
n

n?0

( n ? 1) 2

的和.

? 第十二章 无穷级数·12·

§ 4 练习题 P223
2

函数展开成幂级数

1,2.(1) (3),3. (2)
x 展成 x 的幂级数,并求展开式成立的区间.

一、将函数 sin

二、将函数 f ( x ) ? cos x 展成 ( x ?

?
3

) 的幂级数.

·13· 第十二章

无穷级数 ?

三、将函数 f ( x ) ?

1 x

展成 ( x ? 3 ) 的幂级数.

四、将函数 f ( x ) ?

1 x ? 3x ? 2
2

展成 ( x ? 4 ) 的幂级数.

? 第十二章 无穷级数·14·

五、将函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ? x ? x ) 展成 x 的幂级数.
2 3

六、利用函数 f ( x ) ?

1 1? x

的展开式逐项微分来求数项级数 ?

?

n 2
n ?1

的和.

n ?1

·15· 第十二章

无穷级数 ?

§ 7 练习题 P250 一、填空题: 1.设
a0 2
?

傅里叶级数

1.(2)
cos nx ? b n sin nx ) 为函数 f ( x ) ? ? x ? x ( ? ? ? x ? ? ) 的傅里叶级
2

?

? (a
n ?1

n

数,则系数 b 3 ? 2. f ( x ) ? ? 设
?2 , ?? ? x ? 0 ?x
3

;

, 0? x? ?

是以 2 ? 为周期的周期函数, f ( x ) 的傅里叶级数在 x ? ? 则

处收敛于
2

.

二、 f ( x ) ? 3 x ? 1 ( ? ? ? x ? ? ) 是以 2 ? 为周期的周期函数, f ( x ) 展开为傅里叶 设 将 级数.

三 、设周期函数 f ( x ) 的周期为 2 ? ,证明 f ( x ) 的傅里叶系数为:
an ? 1

bn ?

? 1

?

2?

f ( x ) co s n xd x
0

( n ? 0 , 1 , 2 , ? ),

?

?

2?

f ( x ) sin n xd x
0

(n ? 1 , 2 , ? ) .

? 第十二章 无穷级数·16·

§ 8 练习题 P256 1 (1),2 (1) 一、填空题:

一般周期函数的傅里叶级数

1.设 f ( x ) 在 [ 0 , l ] 上连续,在 ( 0 , l ) 内有 f ( x ) ?

?b
n ?1

?

n

sin

n? l

x ,则 b n 的计算公式为

,此时 f ( x ) 的周期为

;

? ? ? 1 , 0? x ? 2 ? ? 2. 若将 f ( x ) ? ? 展开为正弦级数, 则此级数在 x ? 处收敛于 4 ? 0 , ? ? x ?? ? 2 ?

,

而在 x ? 二、 f ( x ) ? 将 的值.

?
2

处收敛于

.
?

? ? x
2

( 0 ? x ? ? ) 分别展开成正弦级数和余弦级数, 并计算 ?

1 ( 2 n ? 1)
2

n ?1

三、将 f ( x ) ? ?
?

?2 x ? 1 , ? 3 ? x ? 0 1 , 0 ? x ? 3

展开成傅里叶级数.

·17· 第十二章

无穷级数 ?

习题课(二) 练习题 P257 7.(1) (3),8.(4),10.(1)
? n
2

1? ? 一、求幂级数 ? ? 1 ? ? n? n ?1 ?

x 的收敛区间.

n

二、试证: ? ( n ? 1)( n ? 2 ) x ?
n n?0

?

2 (1 ? x )
3

, | x |? 1 .

? 第十二章 无穷级数·18·

三、展开

d dx

(

e ?1
x

x

) 为 x 的幂级数,并求 ?

?

n ( n ? 1)!

的和.

n ?1

四、将

1 (2 ? x )
2

展开成 x 的幂级数.


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