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今天双色球会开什么号码查询:北京市西城区2010届高三上学期期末抽样测试(数学理)_图文

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北京市西城区 2010 届高三上学期期末抽样测试(数学理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷

(选择题, 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项。 1.设全集 U=R,集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , b ? {x | x ? 1} ,则集合 A ? CUB= A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1} ( D. y ? log 1 x
2





2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? e x B. y ? sin x C. y ? ? x 3



3.右图是一个几何体的三视图,则该几何体 的体积为 ( ) A.6 B.8 C.16 D.24 4.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 1 ,且 a · b +

b ·b =

3 ,则向量 a , b 的夹角为( 2



A.30° B.45° C.60° D.90° 5.关于直线 l , m 及平面α ,β ,下列命题中正确的是 A.若 l∥α ,α ? β =m,则 l∥m B.若 l ∥α ,m∥α ,则 l ∥m C.若 l⊥α ,l∥β ,则α ⊥β D.若 l∥α ,m⊥l,则 m⊥α 6.执行右图所示的程序,输出的结果为 48,对判断框 中应填入的条件为 ( ) A. i ≥4 B. i ? 4 C. i ≥6 D. i ? 6 7.已知 0 ? a ? b ? 1 ,设 x ? log b A. y ? x ? z C. x ? z ? y





1 1 , y ? log a , z ? logz b ,则 b b B. y ? z ? x D. x ? y ? z





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8.若椭圆或双曲线上存在点 P,使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2:1,则称此椭圆或双曲线存在“F 点” ,下列曲线中存在“F 点”的是 ( )

x2 y2 ? ?1 A. 16 15
C. x ?
2

x2 y2 ? ?1 B. 25 24
D. x 2 ? y 2 ? 1

y2 ?1 15

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.设 i 是虚数单位,则 10. ( x ?

i ? 1? i3

。 。 。

3 5 ) 的展开式中的常数项为 x2

11.若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? a ? 0 相切,则 a ?

12.在△ABC 中, a , b , c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a ? 1 , b ?

2 , cos B ?

1 ,则 3

sin A ?

。

13.将编号为 1、2、3 的三个小球,放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中 如果每个盒子中最多放一个球,那么不同的放球方法有 种; 如果 4 号盒子中至少放两个球,那么不同的放球方法有 种。 14.无穷等差数列 {an } 的各项均为整数,首项为 a1 、公差为 d , S n 是其前 n 项和,3、21、15 是其中的 三项,给出下列命题; ①对任意满足条件的 d ,存在 a1 ,使得 99 一定是数列 {an } 中的一项; ②对任意满足条件的 d ,存在 a1 ,使得 30 一定是数列 {an } 中的一项; ③存在满足条件的数列 {an } ,使得对任意的 n ? N , S 2a ? 4S n 成立。
*

其中正确命题为

。 (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (cosx ? sin x) ? 3 cos2x ? 1 . (1)求 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程;

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(2)求 f ( x) 在区间 [0,

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?
2

] 上的最大值和最小值。

16. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,M、N 分别为 PA、BC 的中点, PD⊥平面 ABCD,且 PD=AD= 2 ,CD=1 (1)证明:MN∥平面 PCD; (2)证明:MC⊥BD; (3)求二面角 A—PB—D 的余弦值。

17. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 (n ? N * ) ,数列 {bn } 为等比数列,且满足 b1 ? a1 , 2b3 ? b4 (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an bn } 的前 n 项和。

18. (本小题满分 13 分) 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处切线的斜率为-1,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值点

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y ? 4 x ,直线 l : y ? kx ? b 与 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点。
2

(1)当 k ? 1 ,且直线 l 过抛物线 C 的焦点时,求 | AB | 的值; (2)当直线 OA,OB 的倾斜角之和为 45°时,求 k , b 之间满足的关系式,并证明直线 l 过定点。 20. (本小题满分 14 分) 已知曲线 C : xy ? 1 ,过 C 上一点 A1 ( x1 , y1 ) 作斜率 k 1 的直线,交曲线 C 于另一点 A2 ( x2 , y 2 ) ,再过

A2 ( x2 , y 2 ) 作斜率为 k 2 的直线,交曲线 C 于另一点 A3 ( x3 , y3 ) ,?,过 An ( xn , y n ) 作斜率为 k n 的直
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线,交曲线 C 于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) ?,其中 x1 ? 1 , k n ? ? (1)求 x n ?1 与 xn 的关系式; (2)判断 xn 与 2 的大小关系,并证明你的结论; (3)求证: | x1 ? 2 | ? | x2 ? 2 | ?...? | xn ? 2 |? 2 .

xn ? 1 (x ? N * ) x ? 4 xn
2 n

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参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 40 分。 题号 答案 1 B 2 C 10. 15 14.①③ 3 B 4 C 5 C 6 A 7 D 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.

1 1 ? i 2 2

11.2

12.

2 3

13.24,10

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分标准给分。 ) 15. (本小题满分 13 分) 解: (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 3 cos2x 2分 4分 6分 7分

? sin 2x ? 3 cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

所以,函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ,

k? ? ? ,k ?Z , 3 2 2 12 k? ? ? 所以,函数 f ( x) 图象的对称轴方程为 x ? ,k ?Z , 2 12 ? ? ? 4? ] (2)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , 2 3 3 3
由 2x ?

?

? k? ?

?

, k ? Z ,得 x ?

9分 10 分 11 分 13 分

所以 ? 3 ≤ 2 sin( 2 x ? 所以, f ( x) 在区间 [0,

?

?

3

) ≤2

2

] 上的最大值为 2,最小值为 ? 3

16. (本小题满分 13 分) 解: (1)证明:取 AD 中点 E,连接 ME,NE, 由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点, ∴ME∥PD,NE∥CD 又 ME,NE ? 平面 MNE,ME ? NE=E, 所以,平面 MNE∥平面 PCD, 所以,MN∥平面 PCD 3分 (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥DA,PD⊥DC, 在矩形 ABCD 中,AD⊥DC, 如图,以 D 为坐标原点, 射线 DA,DC,DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 正半轴建立空间直角坐标系
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2分

4分
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则 D(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) , B( 2 ,1,0) C (0,1,0) , P(0,0, 2 ) 所以 M ( 6分

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2 2 2 2 ,0, ) , BD ? (? 2 ,1,0) , MC ? (? ,1,? ) 2 2 2 2

7分

∵ MC · BD =0,所以 MC⊥BD (3)解:因为 ME∥PD,所以 ME⊥平面 ABCD,ME⊥BD,又 BD⊥MC, 所以 BD⊥平面 MCE, 所以 CE⊥BD,又 CE⊥PD,所以 CE⊥平面 PBD, 由已知 E (

8分

9分 10 分

2 2 ,1,0) ,0,0) ,所以平面 PBD 的法向量 EC ? (? 2 2

M 为等腰直角三角形 PAD 斜边中点,所以 DM⊥PA, 又 CD⊥平面 PAD,AB∥CD,所以 AB⊥平面 PAD,AB⊥DM, 所以 DM⊥平面 PAB, 所以平面 PAB 的法向量 MD ? (-

11 分 12 分

2 2 ,0, ? ) 2 2

设二面角 A—PB—D 的平面角为θ , 则 cos ? ?

EC ? MD | EC || MD |

?

6 . 6

所以,二面角 A—PB—D 的余弦值为

6 . 6

13 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (1)由已知 S n ? n 2 ,得 a1 ? S1 ? 1 当 n ≥2 时, an ? S n ? S n?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1 所以 an ? 2n ? 1(n ? N * ) 由已知, b1 ? a1 ? 1 设等比数列 {bn } 的公比为 q ,由 2b3 ? b4 得 2q ? q ,所以 q ? 2
2 3

1分 3分 5分

7分 8分

所以 bn ? 2 n?1
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(2)设数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn ,

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则 Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ,

2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ,
两式相减得 ? Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ... ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n 10 分

? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ... ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?(2n ? 3) ? 2 n ? 3
所以 Tn ? (2n ? 3)2 n ? 3 18. (本小题满分 13 分) 解: (1)由已知 x ? 0 11 分 12 分 13 分

2分

f ' ( x) ? x ? (a ? 1) ?

a x

4分 5分 6分

曲线 y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处切线的斜率为-1,所以 f ' (2) ? ?1 即 2 ? ( a ? 1) ?

a ? ?1 ,所以 a ? 4 2

(2) f ' ( x) ? x ? (a ? 1) ? ①当 0 ? a ? 1 时,

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)(x ? a) ? ? x x x

8分

当 x ? (0, a) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 当 x ? (a,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。 此时 x ? a 是 f ( x) 的极大值点, x ? 1 是 f ( x) 的极小值点 ②当 a ? 1 时, 当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) >0, 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , 当 ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0
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10 分

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11 分

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所以函数 f ( x) 在定义域内单调递增,此时 f ( x) 没有极值点 ③当 a ? 1 时, 当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 当 x ? (a,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (a,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增 此时 x ? 1 是 f ( x) 的极大值点,

x ? a 是 f ( x) 的极小值点

13 分

综上,当 0 ? a ? 1 时, x ? a 是 f ( x) 的极大值点, x ? 1 是 f ( x) 的极小值点; 当 a ? 1 时, f ( x) 没有极值点; 当 a ? 1 时, x ? 1 是 f ( x) 的极大值点, x ? 1 是 f ( x) 的极小值点

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为(1,0) 由已知 l : y = x ? 1 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 2分

? y 2 ? 4x 2 联立 ? ,消 y 得 x ? 6 x ? 1 ? 0 , y ? x ? 1 ?
所以 x1 ? x2 ? 6 , x1 x2 ? 1 4分

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? 2 ( x 2 ? x1 ) 2

? 2

( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 8

(2)联立 ?

? y 2 ? 4x 2 ,消 x 得 ky ? 4 y ? 4b ? 0 ??????(*) (依题意 k ≠0) ? y ? kx ? b
4 4b , y1 y 2 ? , k k
8分

y1 ? y 2 ?

设直线 OA, OB 的倾斜角分别为α ,β ,斜率分别为 k 1 , k 2 ,则α +β =45°,

tan( ? ? ? ) ? tan450 ,

k1 ? k 2 ?1 1 ? k1k 2
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9分

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其中 k1 ? 所以

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y1 4 4 ,代入上式整理得 y1 y 2 ? 16 ? 4( y1 ? y 2 ) ? , k2 ? x1 y1 y2

4b 16 ? 16 ? ,即 b ? 4k ? 4 , k k 此时,使(*)式有解的 k , b 有无数组
直线 l 的方程为 y ? kx ? 4k ? 4 ,整理得 k ( x ? 4) ? y ? 4 消去 ?

12 分

?x ? 4 ? 0 ? x ? ?4 ,即 ? 时 k ( x ? 4) ? y ? 4 恒成立, ?y ? 4 ? 0 ?y ? 4
14 分

所以直线 l 过定点(-4,4)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知过 An ( xn , y n ) 斜率为 ?

xn ? 1 的直线为 x ? 4 xn
2 n

y ? yn ? ?

xn ? 1 ( x ? xn ) , 2 xn ? 4 xn

直线交曲线 C 于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) 所以 y n?1 ? y n = ?

xn ? 1 ( xn?1 ? xn ) x ? 4 xn
2 n

2分



1 x n ?1

?

x ?1 1 ( xn?1 ? xn ) , xn?1 ? xn ≠0, ?? 2n xn xn ? 4 xn xn ? 4 (n ? N * ) xn ? 1
4分

所以 xn ?1 ?

(2)解:当 n 为奇数时, xn ? 2 ;当 n 为偶数时, xn ? 2 因为 xn ? 2 ?

5分

xn?1 ? 4 x ?2 , ? 2 ? n?1 xn?1 ? 1 xn?1 ? 1

6分

注意到 xn ? 0 ,所以 xn ? 2 与 xn?1 ? 2 异号 由于 x1 ? 1 ? 2 ,所以 x2 ? 2 ,以此类推, 当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时, xn ? 2 ;
*

当 n ? 2k (k ? N ) 时, xn ? 2
*

8分
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(3)由于 xn ? 0 , xn?1 ?

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xn ? 4 3 , ? 1? xn ? 1 xn ? 1
9分

所以 xn ≥1( n ? 1,2,3 ,?)

所以 | xn ?1 ? 2 |?| 所以 | xn ? 2 | ≤

xn ? 2 | xn ? 2 | 1 ≤ | xn ? 2 | |? 2 xn ? 1 xn ? 1

10 分

1 1 1 1 | x n ?1 ? 2 | ≤ 2 | x n ? 2 ? 2 | ≤?≤ n ?1 | x1 ? 2 |? n ?1 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 所以 | x1 ? 2 | ? | x2 ? 2 | ?...? | xn ? 2 | ≤ 1 ? ? ( ) ? ... ? ( ) 2 2 2 1 n ?1 ? 2?( ) ? 2 2

12 分

14 分

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